Información Tecnológica-Vol. 16 N°1-2005, págs.: 75-82

ARTÍCULOS VARIOS

Estimadores de Momentos de Probabilidad Pesada para la Distribución General de Valores Extremos para Máximos

Probability Weighted Moments Estimators for the Parameters of the General Extreme Value Distribution

José  A. Raynal
Universidad de las Américas-Puebla, Departamento de Ingeniería Civil,
72820 Cholula, Puebla-México (e-mail: josea.raynal@udlap.mx)

Resumen

Se propone un método alternativo para la estimación de parámetros de la función de distribución de probabilidad general de valores extremos (GVE), por medio del método de momentos de probabilidad pesada, para el análisis de gastos máximos anuales. El método propuesto presenta una mayor flexibilidad de modelación que el existente y se ha podido aplicar a una gran cantidad de datos de gastos máximos anuales sin ninguna dificultad observada. El artículo contiene ejemplos numéricos de estimación de parámetros usando las dos metodologías citadas. Los resultados producidos por ambos métodos son prácticamente iguales, tanto en la evaluación de los parámetros de la distribución GVE, como en la obtención de los eventos de diseño. En cuanto a las características estadísticas, el método propuesto es muy superior al existente, como ha sido demostrado por medio de experimentos de muestreo distribucional.

Abstract

An alternative method for estimating the parameters of the general extreme value (GEV) probability distribution function, using the method of probability weighted moments, is compared with existing methods, to analyze maximum annual floods. The proposed method shows better modeling flexibility than the existing methods, and has been applied to a large number of maximum annual floods samples with no observed difficulty. The paper contains numerical examples for the estimation of parameters using the methods cited. The results produced by both methods are practically the same, both in the parameter estimation phase for the GEV distribution, as well as in the evaluation of the design events. Regarding statistical characteristics, the proposed methodology is much better than the existing one, as it has been shown through distribution sampling experiments.

Keywords: probability weighted moments, parameter estimators, extreme value distribution, frequency analysis

INTRODUCCIÓN

El método de momentos de probabilidad pesada ha sido definido (Greenwood et  al.,1979) para varias funciones de distribución de probabilidad cuyas formas inversas pueden definirse explícitamente, como las distribuciones Weibull, Gumbel, general de valores extremos (GVE), lambda generalizada, logística,  Wakeby y kappa, entre otras.

Se ha demostrado (Landwher et al, 1979) que los estimadores de los parámetros de la función de distribución Gumbel son insesgados, cuando se aplica el método de los momentos de probabilidad pesada, esto se hizo con técnicas de muestreo distribucional, para diversos tamaños de muestra y varios números de muestras consideradas en el proceso de estimación de parámetros.

Esos resultados fueron extendidos (Raynal y  Salas, 1986) para formas de estimación de parámetros no consideradas  (Landwher et al., 1979).

Se ha obtenido la forma de los estimadores de los parámetros de la función de distribución de probabilidad general de valores extremos (GVE) para máximos (Hosking  et al., 1985) utilizando un procedimiento diferente al contenido en este artículo, y al realizar experimentos de muestreo distribucional se encontró un sesgo pequeño para los estimadores de los parámetros de la distribución GVE.

Se han recopilado los diferentes estimadores de momentos de probabilidad pesada para diversas distribuciones (Singh, 1998), incluida la GVE con los resultados obtenidos previamente (Hosking et al., 1985).

Es el objetivo de este artículo el mostrar una comparación objetiva entre los métodos de Hosking  et al., (1985) y el que se ha sido propuesto por Raynal-Villaseñor (1987).

METODOLOGÍA

Con la finalidad de cumplir con lo establecido en el objetivo planteado, se utilizaron el conjunto de ecuaciones y variables siguientes, para analizar varias muestras de gastos máximos anuales y poder establecer la comparación entre los dos métodos, que es la parte central de este estudio.

La distribución general de valores extremos para máximos

La distribución general de valores extremos, es la solución general del Postulado de Estabilidad que deben cumplir los valores extremos (Gumbel, 1958; Jenkinson 1955 y 1969; Castillo, 1998).

La función de distribución de probabilidad GVE es (NERC,1975):

          (1)

donde a, b, y  x₀ son los parámetros de escala, forma y ubicación, respectivamente.

La forma inversa de la Ecuación (1) es:

                (2)

Método de los momentos de probabilidad pesada

Por definición (Greenwood et al., 1979) una función de distribución de probabilidad, F(x)  =  Prob(X £ x), puede ser caracterizada por sus momentos de probabilidad pesada:

                 (3)

donde l, j y k son números reales. Si se toma la siguiente convención (Greenwood et al., 1979):

                                                (4)

un estimador insesgado de M_(k) es (Landwher et al., 1979):

                                (5)

y  k es un entero no-negativo y las x_i, i = 1,2,...,n, han sido ordenadas de menor a mayor,  x₍₁₎  a  x_(n):  

                                       (6)

Estimadores de momentos de probabilidad pesada para la distribución GVE para máximos

A) Metodología propuesta (Raynal-Villaseñor, 1987)

Utilizando la Ecuación (3),  se pueden obtener las siguientes expresiones para la distribución GVE (Raynal-Villaseñor, 1987):

                    (7)

donde G(.) es la función Gamma completa.

La Ecuación (7) sólo es válida si b > -1. Ahora, usando la Ecuación (7) para generar un sistema de ecuaciones simultáneas, se puede llegar a las siguientes expresiones  para los parámetros de la distribución GVE (Raynal-Villaseñor, 1987):

                                  (8)

                            (9)

  (10)

donde la constante C_RV  puede ser calculada como:

                                  (11)

y los momentos de probabilidad pesada pueden ser obtenidos de la siguiente manera:

                                         (12)

                        (13)

        (14)

La metodología es válida para b > - 1.

B) Metodología existente (Hosking  et al., 1985)

Los momentos de probabilidad pesada para la distribución GVE son (Hosking  et al., 1985; Singh, 1998):

                                    (15)

Ahora, usando la Ecuación (15) para generar un sistema de ecuaciones simultáneas, se puede llegar a las siguientes expresiones  para los parámetros de la distribución GVE (Hosking  et al., 1985; Singh, 1998):

                   (16)

donde la constante C_H puede ser calculada como:

                       (17)

y los momentos de probabilidad pesada pueden ser obtenidos de la siguiente forma:

                                            (18)

                            (19)

                 (20)

los parámetros restantes pueden evaluarse como:

                                (21)

                          (22)

La metodología es válida para  |b| < 0.5.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Como ejemplos se tienen los análisis de gastos máximos anuales basados en los datos registrados en las estaciones San Bernardo, Huites, Acatitán, El Naranjo y Jaina, en el estado de Sinaloa, todas ellas localizadas en el Noroeste de México, ver Figura 1.

Los errores estándar  de  ajuste, producidos por el uso de la función de distribución GVE,  se  indican  con la denominación EE y son calculados de la forma siguiente (Kite, 1988):

     (23)

donde x_i son los valores históricos de la muestra de datos, y_i son los valores producidos por la función de distribución correspondiente a los periodos de retorno de los valores históricos, N es el tamaño de la muestra, y m_j  es el número de parámetros de la función de distribución. Las características estadísticas de los datos de gastos máximos anuales, de las estaciones hidrométricas seleccionadas, son mostradas en la Tabla 1.

Tabla 1: Características estadísticas de los datos las
estaciones hidrométricas seleccionadas

Los resultados obtenidos para las estaciones hidrométricas citadas anteriormente son:

a) Metodología que ha sido propuesta (Raynal-Villaseñor, 1987)

b) Metodología existente (Hosking et al., 1985)

a) Metodología de Raynal-Villaseñor (1987)

Los momentos de probabilidad pesada de las estaciones seleccionadas, calculados con la metodología que ha sido propuesta, usando  las Ecuaciones (12) a (14), están  contenidos en la Tabla 2.

Los valores de los parámetros de la distribución GVE producidos por las Ecuaciones (8) a (10), así como sus correspondientes errores estándar de ajuste producidos por la Ecuación (23),  para dichas estaciones son los que se muestran en la Tabla 3.

Tabla 2: Momentos de probabilidad pesada para las estaciones hidrométricas seleccionadas

Tabla 3: Parámetros  de la distribución GVE y errores estándar de ajuste para
las estaciones hidrométricas seleccionadas. * valor adimensional

b) Metodología de Hosking et al. (1985)

Los momentos de probabilidad pesada de las estaciones seleccionadas, calculados con la metodología propuesta por Hosking  et al., (1985), usando  las Ecuaciones (18) a (20), están  contenidos en la Tabla 4. Conviene destacar aquí que los valores de los momentos de probabilidad pesada en ambos métodos, son muy diferentes a excepción del momento de primer orden, el cual coincide con la media de los datos.

Los valores de los parámetros de la distribución GVE, así como sus correspondientes errores estándar de ajuste, para dichas estaciones son los que se muestran en la Tabla 5. Los eventos de diseño (Q_T), para los periodos de retorno (T) elegidos, se muestran en la tabla 6.

Tabla 4: Momentos de probabilidad pesada para las estaciones hidrométricas seleccionadas

Tabla 5: Parámetros  de la distribución GVE y errores estándar de ajuste para
las estaciones hidrométricas seleccionadas. * valor adimensional

De la información contenida en las Tablas 1 a 6, es posible hacer las siguientes observaciones:

1) Aun cuando la forma de estimar los momentos de probabilidad pesada es esencialmente diferente, a excepción del momento de probabilidad de primer orden el cual coincide con la media de los datos en ambos métodos, esta aparente diferencia no parece tener ningún efecto en el cálculo de los parámetros de la función de distribución GVE. Se puede decir que, para fines prácticos, los parámetros producidos por ambos métodos son casi iguales

2) La situación mencionada en el inciso anterior, conlleva a que los eventos de diseño son aun más cercanos en ambos métodos, que lo que lo son los parámetros de la función de distribución GVE producidos por los dos métodos mostrados

3) Los errores estándares de ajuste también son muy cercanos en ambos métodos, cuestión derivada directamente de la cercanía numérica de los parámetros de la función de distribución GVE

4) En resumen, se puede decir que ambos métodos producen resultados que, desde el punto de vista ingenieril, resultan totalmente equivalentes

Tabla 6: Gastos de diseño para  las estaciones
hidrométricas seleccionadas

Por otra parte, en estudios recientes de experimentos de muestreo distribucional (Raynal-Villaseñor, 2004 a y b), se ha encontrado que el método de Raynal Villaseñor (1987) es muy superior al de Hosking et al., (1985), según puede observarse en los resultados contenidos en las Tablas 7 a 9, donde se muestra un caso representativo del análisis realizado.

En la Tabla 7 puede verse que en cuanto al parámetro de ubicación, el método de Raynal-Villaseñor (1987) produce estimadores casi insesgados a partir del tamaño de muestra con 19 datos. La varianza y el valor medio estimados son  también  mucho  mejores  que los que produce el método de Hosking et al., (1985).

Para el parámetro de escala, el método de Raynal-Villaseñor (1987) produce estimadores casi insesgados a partir del tamaño de muestra de tal sólo 9 datos, como se aprecia en la Tabla 8. La varianza y el valor medio obtenidos son también mucho mejores que los que produce el método de Hosking et al., (1985). La varianza en el primer método es casi de la mitad del valor de este último.

En el caso del parámetro de forma, los valores producidos por ambos métodos son muy similares en todos los conceptos considerados, como puede verse en la Tabla 9.

Tabla 7: Propiedades de los estimadores de momentos de probabilidad pesada para el
parámetro de ubicación x₀  suponiendo un valor poblacional: x₀ = 10.0 (a = 4.0 y b = - 0.30)

CONCLUSIONES

Los estimadores de los parámetros para la distribución GVE, por medio del método de momentos de probabilidad pesada, han sido comparados usando dos metodologías diferentes. Ha sido demostrado que el uso de ambos métodos es totalmente equivalente, en virtud que los resultados producidos en ambos casos  son muy cercanos en valor numérico, tanto en la obtención de parámetros de la función de distribución GVE, como en la evaluación de los valores de diseño.

Tabla 8: Propiedades de los estimadores de momentos de probabilidad
pesada para el parámetro de escala a  suponiendo un valor
poblacional: a =  4.0 (x₀  = 10.0 y  b = - 0.30)

Tabla 9: Propiedades de los estimadores de momentos de
probabilidad pesada para el parámetro de forma b suponiendo
un valor poblacional: b = - 0.30 (x₀  = 10.0 y  a = 4.0)

Por medio de los experimentos de muestreo distribucional, contenidos en artículos que serán publicados próximamente (Raynal-Villaseñor, 2004 a y b), es posible observar que los estimadores que han sido propuestos (Raynal-Villaseñor, 1987), tienen un sesgo muy pequeño, mucha menor varianza y que son más eficientes que los obtenidos por el método existente (Hosking et al., 1985). Hay que recordar que el rango de variación de los primeros en el parámetro de forma es mayor que el de los segundos. Por lo anterior, el autor recomienda que dichos estimadores sean incorporados a las metodologías existentes usadas en el análisis de gastos máximos anuales.

NOMENCLATURA

 momento de probabilidad pesada calculado con el método de Hosking et al., (1985)

C_H   constante usada en el método de Hosking et al., (1985)

C_RV  constante usada en el método de Raynal-Villaseñor (1987)

EE  error estándar de ajuste de funciones de densidad de probabilidad

F(.) función de distribución de probabilidad

f(.)  función de densidad de probabilidad

 momento de probabilidad pesada calculado con el método de Raynal-Villaseñor (1987)

m_j  número de parámetros de la función de densidad de probabilidad

Q_T eventos de diseño para un periodo de retorno T

T   periodo de retorno en años

x_i valores históricos de gastos máximos anuales contenidos en la muestra de datos

x₀  parámetro de ubicación de la distribución  GVE

y_i valores generados por la función de distribución de probabilidad para periodos de retorno iguales a los de los valores históricos de gastos máximos anuales contenidos en la muestra de datos

a  parámetro de escala de la distribución GVE

b  parámetro de forma de la distribución GVE

G(.) función Gamma completa

AGRADECIMIENTOS

El autor agradece el apoyo otorgado por  la Universidad de las Américas, Puebla en la realización de este artículo.

REFERENCIAS

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