Información Tecnológica-Vol. 15 N°5-2004, págs.: 23-31

INGENIERÍA MECÁNICA

Modelo Termo-Mecánico para un Manipulador Tipo Dieléctrico

Thermo-Mechanical Model for a Dielectric Manipulator

F.F. Kiyama¹ y E. Vargas²

(1) Centro Regional de Optimización y Desarrollo de Equipo, Homero Nº350, Complejo Industrial Chihuahua, 31109 Chihuahua, Chih.-México
(e-mail: fkiyamam@yahoo.com.mx)

(2) Centro de Ingeniería y Desarrollo Industrial, Playa Pie de la Cuesta Nº702, Col. Desarrollo
San Pablo, 76130 Querétaro, Qro.-México (e-mail: emilio@mecatronica.net)

Resumen

Se propone un modelo matemático para aproximar la posición de uno de los grados de libertad de un manipulador, el cual es accionado mediante un cilindro neumático equipado con almohadillas de frenado. El modelado neumático se basa en los principios termodinámicos de la conservación de la energía y la materia. El modelado mecánico es construido mediante la formulación de Newton-Euler, y se propone una variante de la aproximación de la curva de fricción de Van der Vrande para aproximar el efecto de la fuerza de fricción en el sistema. Se analizan los modelos de forma integral mediante simulación, y se comparan los resultados de la simulación con los resultados obtenidos en un prototipo del manipulador, construido e instrumentado para este propósito. Se concluye que el modelo termo-mecánico obtenido describe satisfactoriamente la posición y la fuerza ejercida por el manipulador.

Abstract

A mathematical model is proposed for the estimation of the position of one of the degrees of freedom of a manipulator which is operated by a cushion-type pneumatic cylinder. Pneumatic modeling is based on the thermodynamic principle of conservation of mass and energy . Mechanical modeling is constructed based on the Newton-Euler formulation, and a variant of the estimated friction curve of Van der Vrande is proposed for the system. Integral forms of the models are analyzed using simulation, and the results are compared with results obtained on a prototype manipulator which was built and instrumented for this purpose. It is concluded that the thermo-mechanical model obtained satisfactorily describes the position and the force exerted by the manipulator.

Keywords: robotics, pneumatic manipulator, actuator, pneumatic cylinder, modeling

INTRODUCCIÓN

La utilización de actuadores neumáticos es ventajosa por su costo, limpieza y una relación potencia-peso elevada, que favorece su potencial aplicación en sistemas robóticos pues conducen a manipuladores compactos, ligeros, sencillos y de bajo costo. El desarrollo de los servomecanismos neumáticos se origina en los 50's (Moore y Sheng, 1996), sin embargo el control de los sistemas con actuación neumática presenta problemas originados en la no linealidad de los actuadores, debido a la compresibilidad del aire, la fricción en las juntas, la no linealidad del flujo en las válvulas y el retardo debido a la velocidad de propagación de la presión del aire. Con el advenimiento del control digital a partir de los 70´s se incrementa la investigación de los servo-sistemas neumáticos (Ning y Bone, 2002) y como alternativa, el control de ancho de pulso modulado (PWM) mediante válvulas de posición binaria (Barth et al., 2002).

El desarrollo de sistemas de servoactuadores neumáticos requiere las herramientas de modelación y simulación para su diseño, así como para la selección y evaluación de componentes (Moore y Sheng, 1996).  Anglani et al. (2002) han desarrollado un ambiente de simulación para actuadores controlados bajo el esquema PWM.

En este artículo se considera un modelo y la simulación de un brazo manipulador operado mediante un actuador equipado con almohadillas de frenado. Se presenta la descripción de la dinámica de la válvula de control, del actuador lineal y del mecanismo impulsor del manipulador. A partir del sistema en el espacio de estados, se muestran los resultados de la simulación y, para fines de validación, se realiza su comparación con los datos obtenidos en pruebas experimentales.

Este trabajo es parte del desarrollo de un manipulador dieléctrico de tipo industrial, requerido para la limpieza en los aisladores eléctricos de las líneas aéreas de alta tensión (Vargas et al., 2001 y Kiyama y Vargas, 2003).

MODELACIÓN

Se deriva la dinámica del actuador neumático con almohadillas de frenado en forma similar a la sugerida por Wang et al. (2001) y Tressler et al. (2002) para un actuador lineal simple a partir de las suposiciones siguientes:

S1 El gas es ideal.

La densidad del gas es uniforme en las cámaras del actuador.

S3  El Flujo es isentrópico en las válvulas de control.

S4 Los procesos experimentados por el gas en las cámaras del actuador son isotérmicos.

Descripción de la dinámica de la válvula de control

El flujo a través de la válvula, depende del área de flujo y del estado del gas. Se obtiene la expresión del flujo másico a partir de la ecuación de  continuidad:

                                      (1)

donde p_t y v_t son respectivamente la densidad y velocidad del gas en la garganta de la válvula y A_t es el área abierta para el flujo.

Para expresar en función de las presiones del gas, se considera primero una definición de v_t a partir de la entalpía de estagnación:

                               (2)

donde c_p es el calor específico del aire a presión constante, h₀ y T₀ son la entalpía y temperatura del aire en el depósito y T_t es la temperatura del aire en la garganta de la válvula. Aplicando a (2) según S1 las relaciones del gas ideal:

                  (3)

donde k  y R son la relación entre calores específicos y la constante del aire respectivamente, M es el número de Mach en la garganta. A partir de (3) y de la definición del número de Mach se obtiene:

                       (4)

Considerando una ecuación análoga a (4) para la densidad del aire en la garganta, de acuerdo con S3 y sus relaciones:

                   (5)

                     (6)

Sustituyendo (4) y (6)  en (1) se obtiene el flujo másico a través de la válvula:

               (7)

Al reordenar (7) considerando (5) y (6), el flujo másico puede expresarse en función de las presiones en el depósito y la garganta, a través de la siguiente expresión:

                                          (8)

              (9)

donde C_d es el coeficiente de descarga que considera la fricción del flujo. Se observa que la presión p₀ del depósito, según la situación de flujo es la presión del suministro de aire comprimido, pero para el caso de la descarga, será la presión en la cámara del actuador.

El patrón de flujo en la válvula varía dependiendo de la relación entre la presión p₀ y la presión p_s de salida. El patrón cambia bruscamente al alcanzar v_t el valor de la velocidad sónica en la garganta (M = 1). Para el aire, de (5) se obtiene tal situación cuando . Por ello se dan los casos:

1.   Condición de flujo nulo.

 Donde y=0, el pistón del actuador está bloqueado.

2.      Régimen de flujo subcrítico.

Los valores de y son los dados por (9). El flujo es subsónico en la garganta, y la presión en ésta es la mismaque en la salida de la válvula.

3.   Régimen de flujo crítico.

 Debido a la diferencia de presiones, la velocidad del flujo alcanza la velocidad sónica en la garganta, lo cual se denomina régimen crítico.

4.    Régimen de flujo supercrítico.

 Al sobrepasar el régimen crítico, el aumento de la diferencia de presiones, no afecta el estado de flujo en la garganta. La presión en la garganta sigue en
p_t = 0,528p₀ lo cual resulta en y = 0,5787, que se da si la carga en el actuador es muy baja.

Descripción de la dinámica del actuador

Aplicando la primera ley de la termodinámica a un volumen de control para una cámara del actuador, se obtiene:

                               (10)

donde el flujo de calor  es muy pequeño, , h y v son el flujo másico de aire a través del puerto de la cámara, la entalpía y velocidad asociadas con ese flujo. Finalmente es la variación temporal de la energía total en la cámara y es el intercambio de trabajo en la frontera del volumen de control.

De (2) se asocia la energía del flujo másico a través del puerto con la entalpía de estagnación h₀. Se expresa el cambio en la energía total, considerando que los cambios en las energías cinética y potencial no son importantes respecto al cambio en la energía interna _U  y utilizando las relaciones del gas ideal:

                               (11)

donde c_v es el calor especifico del gas a volumen constante, p y V son la presión y volumen de la cámara. El trabajo hecho al desplazar la frontera del sistema, está dado por:

                                                        (12)

Sustituyendo (2), (11) y (12) en (10) se obtiene para la cámara del actuador:

                              (13)

Tomando como origen de coordenadas  la posición del pistón del actuador retraído y L su carrera, se expresan los volúmenes de las cámaras del actuador como:

                                            (14)

                            (15)

donde V₁  y V₂ son los volúmenes de las cámaras del lado del pistón y del vástago, A_p  y  A_v son las áreas del pistón y el vástago yes la longitud extra equivalente del cilindro correspondiente al volumen residual en la línea y componentes de conexión del actuador.

Aplicando (14), (15) y sus derivadas respecto al tiempo en (13), se obtienen las expresiones del movimiento del pistón dependientes de la modulación de los flujos de aire en los puertos del actuador:

                      (16)

       (17)

Efecto de la fuerza de fricción

La importancia del efecto de la fricción ha originado varios trabajos en la búsqueda de una modelación más precisa, destacando los modelos dinámicos como los propuestos por Canudas de Wit et al. (1995), y Hayward y Armstrong (2000).  Otras propuestas buscan su linealización mediante la eliminación del efecto Stribeck (Owen et al. 2001). En este trabajo se propone una variante de la aproximación continua de la curva de fricción de Van de Vrande et al. (1997). Este modelo considera el efecto combinado de la fricción estática, efecto Stribeck, fricción de Coulomb y fricción viscosa dados por:

                         (18)

En la figura 1 se ve cómo varía F_sv con la velocidad del pistón del actuador, para un coeficiente viscoso K_v = 250N-s/m, un coeficiente de fricción de Coulomb K_c = 2N  y un coeficiente de fricción estática K_e = 25N  Los valores de los coeficientes de forma utilizados son a= 1, b = 10⁴ y d = 10.

La fuerza entregada por el actuador será función de la diferencia de presión en las cámaras y de la fuerza de fricción definida por

                       (19)

Descripción de la dinámica del mecanismo impulsor

De acuerdo a la figura 2, el mecanismo se integra por una combinación en serie de un mecanismo de corredera manivela y un mecanismo de cuatro barras. Se hace la descripción de su dinámica aplicando la formulación de Newton-Euler en forma individual a cada uno de los eslabones:

.p_i = F_i             (20)                                       

H_Gi = M_Gi      i =,2,3,...,6                         

donde, p_i y H_Gi son el momentum lineal y el momentum angular del eslabón _i, F_i y M_Gi son las sumas de fuerzas y de momentos que actúan sobre ese eslabón. La aplicación de (20) requiere de los análisis previos de posición y velocidad del mecanismo impulsor, para lo cual aplicamos el enfoque vectorial del profesor F. H. Raven, según se describe en Norton (1999). En la solución de (20)  se tiene como variable de entrada a (19) y las variables de salida son las fuerzas de contacto entre eslabones y sus aceleraciones que expresamos como función de la aceleración del pistón . La forma matricial de (20) es:

[R] {f} = {d}                                                  (21)

la matriz [R] contiene la información geométrica del mecanismo, {d} la información dinámica y {f} es el vector de variables a determinar, formado por las ocho fuerzas de contacto entre eslabones y la aceleración del pistón.

Integración del modelo

El actuador con almohadillas de frenado, está representado en la figura 3. Las almohadillas son antecámaras que se forman en los extremos del actuador cuando el pistón se sitúa cerca ellos. El empaque de las almohadillas está diseñado para impedir la salida del gas del interior de las cámaras, pero ofrece una resistencia mínima a su ingreso.

El modelo del sistema en el espacio de estados está definido por las variables x₁ = X, x₂ = p_1a, x₃ = p₁, x₄ = p₂, x₅ =p_2a, x₆ =. La variación en el tiempo de las presiones es diferente dependiendo de la posición del pistón:

 para

                                                            (22)

para

        (23)

        (24)

para

                   (25)

                   (26)

para

(27)

           (28)

para                              

       (29)

       (30)

para

                                                         (31)

donde , , y son los flujos másicos entre las válvulas de control y las almohadillas y entre éstas y sus cámaras respectivas denotando 1 al lado del pistón y 2 al lado del vástago. Los flujos másicos están definidos por (8). A_p, A_v, A_ap y A_av son las áreas del pistón, del vástago y de sus almohadillas. L, Lalp y Lalv son las longitudes de la carrera del pistón y de las zonas de las almohadillas del pistón y del vástago, como se indica en la figura 3. La aceleración del pistón se obtiene de (21).

A fin de analizar y validar el modelo obtenido se implementó la solución de las ecuaciones diferenciales en MatLAB, tomando como parámetros del modelo los correspondientes al prototipo experimental. El actuador neumático de doble acción tiene un diámetro de 64 mm y una carrera de 102 mm, la velocidad del pistón se ajusta con válvulas de aguja de retorno libre. El efecto del amortiguamiento es muy importante en los cilindros neumáticos y el amortiguamiento seco ofrece dificultades para su modelación, particularmente en la región de Stribeck. Cuando la simulación se hace por integración numérica, resulta muy ventajoso modelar la fricción como una curva continua para evitar saltos en el cálculo de la aceleración. Las propiedades de amortiguamiento consideradas para el actuador en la simulación son las indicadas en la figura 1.

Como condición inicial, el sistema parte del reposo desde una posición en la zona intermedia de la carrera del actuador con las registrados como iniciales en la experimentación. Se observa en la figura 4 la respuesta del sistema en la forma de una serie de movimientos alternos separados por períodos de pausa.

La figura 5 muestra la variación de las presiones en los puertos del actuador. El período de pausa inicial termina a los 5s seguido por la apertura de válvulas durante 0.1s durante los cuales la cámara del lado del vástago se comunica a la atmósfera y el lado del pistón se comunica a un suministro de presión de 0.31M Pa abs.  Luego siguen dos períodos de pausa de 5s entre los cuales está intercalada una apertura de válvulas durante 0.33s con inversión de las comunicaciones al suministro de presión y a la atmósfera. Se termina con una apertura de válvulas durante 0.1s con nueva inversión de la comunicación de presiones en los puertos, seguida de un período de pausa hasta el fin de la simulación en 21s.

Además de las presiones y flujos del gas, a través de la simulación se calculan las posiciones, velocidades y aceleraciones de todos los eslabones del sistema, así como las fuerzas ejercidas en sus articulaciones. Los resultados de la simulación que aquí se muestran corresponden a las señales monitoreadas en el banco de prueba. La figura 6 muestra la fuerza axial en el vástago del actuador.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En el trabajo presentado en este artículo se considera especialmente importante poder validar los resultados obtenidos en la simulación mediante datos experimentales, por tal motivo se construyó un banco de pruebas consistente en el brazo manipulador, instrumentado como se observa en la figura 2 para medir las variables que se consideraron más relevantes, a saber: la posición del brazo manipulador, las presiones en los puertos del actuador y  la fuerza entregada por el actuador al mecanismo impulsor. Las señales de estos sensores son registradas en un computadora, la cual además, mediante un programa preestablecido, envía los comandos de movimiento del brazo a la válvula de control, este conjunto se muestra en la figura 7.

Fig. 8: Datos experimentales de la posición del brazo manipulador.

De los resultados experimentales para la presión y la fuerza en el vástago del actuador, se observa que en general el modelo describe bien el comportamiento físico del sistema, notando la mayor discrepancia en la fuerza entregada por el actuador, precisamente en los máximos de fuerza durante la apertura de las válvulas, en los cuales el modelo difiere del valor real en un 40% de la fuerza medida.

Esto se explica observando las gráficas de presión, donde en el tiempo correspondiente a ese período de apertura de válvulas, el diferencial de presiones entre las cámaras calculado por el modelo es menor al observado experimentalmente. En la figura 10 se observa una oscilación de baja amplitud, debida a la flexibilidad del brazo manipulador que no se da en el modelo debido a que se simuló como rígido.

En el modelo intervienen parámetros cuyo valor no siempre es sencillo determinar, como es el caso de la fricción. Su comportamiento se ha simplificado para facilitar su análisis e implementación en simulación. Se hicieron pruebas para medir los parámetros de las fricciones viscosa, de Coulomb y estática, los datos se utilizaron en la simulación para establecer órdenes de magnitud más que valores absolutos pues varían con las condiciones de operación y la posición relativa del pistón en el cilindro. Para los coeficientes y áreas de flujo en válvulas se recurrió a los valores indicados en el catálogo del fabricante. Debido a que su influencia es importante, se incluyó en el modelo el efecto del volumen residual de la tubería de conexión y componentes, su valor fue estimado por comparación entre los resultados de la simulación y los experimentales.

La diferencia entre los resultados experimentales y los de la simulación está afectada de manera importante por el efecto combinado de los valores asignados a los parámetros antes mencionados. Así a manera de ejemplos, en el caso de la primera extensión del émbolo neumático, su velocidad es apreciablemente menor que en la retracción, por ello en dicha extensión el efecto mayor es el de la fricción seca mientras que en la retracción el efecto predominante es el de la fricción viscosa. Por otra parte, al crecer el valor relativo del volumen residual de la tubería y componentes respecto al volumen del cilindro, disminuye la frecuencia de oscilación del émbolo y aumenta la amplitud de variación de las presiones en las cámaras del actuador. El análisis del comportamiento del modelo permite entre otras cosas ir comprendiendo mejor la influencia de sus parámetros y obtener resultados más cercanos al sistema físico de interés.

CONCLUSIONES

Se mostró una modelación termomecánica para un grado de libertad de un manipulador accionado por un cilindro neumático. La comparacióncon los resultados obtenidos en un manipulador real, similar al analizado por simulación mostraron que para fines prácticos, en donde no se requiere una alta precisión, el modelo resulta adecuado para procesos de diseño y optimización.

El desarrollo de este trabajo mostró un caso de aplicación directa de algunos principios fundamentales de la física y una propuesta de aproximación para el término de la fricción, en el diseño de un sistema altamente no lineal, con buenos resultados. Considerando el bajo porcentaje de error cuando la posición del manipulador se ha estabilizado, se concluye que el modelo resulta eficiente bajo esta condición. Sin embargo, las diferencias en las oscilaciones que se presentan en los cambios de posición conducen a considerar que aún es necesario trabajar con el modelo, a fin de mejorar su apego al comportamiento real.

REFERENCIAS

Anglani A., D. Gnoni, A. Grieco, y M. Pacella.  A cad environment for numerical simulation of servo pneumatic actuator systems. AMC 2002 - Maribor, Slovenia, 593-598 (2002).        [ Links ]

Barth E. J., J. Zhang, y M. Goldfarb. Sliding mode approach to pmw controlled pneumatic systems. Proceedings of the American Control Conference, 2362-2367, Mayo (2002).        [ Links ]

Canudas de Wit C., H. Olsson, K.J. Åström, y P. Lischinsky.  A new model for control of systems with friction.  IEEE Transactions on Automatic Control, 40(3):419-425, Marzo (1995).        [ Links ]

Hayward V., y B. Armstrong. A new computational model of friction applied to haptic rendering. En Experimental Robotics VI, P. Corke and J. Trevelyan editors, Springer: New-York, 404-412 (2000).        [ Links ]

Kiyama F., y E. Vargas.  Modelo Integral del accionamiento neumático para un robot flexible industrial. En 2do. Congreso Nacional de Mecatrónica, México, D.F. Universidad Anahuac del Sur, Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C., 70-77 (2003).        [ Links ]

Moore P., y J. Sheng. Pneumatic servo actuator technology.  En London WC2R OBL UK. IEE, Savoy Place, editor, IEE Colloquium: Actuator Technology:  Current practice and new developments (1996).        [ Links ]

Ning S., y M. Bone. High steady-state accuracy pneumatic servo positioning system with pva/pv control and friction compensation.  IEEE International Conference on Robotics & Automation, 2824-2829, Mayo (2002)        [ Links ]

Norton R. L. Design of Machinery. McGraw -Hill, 2^a edición (1999).        [ Links ]

Owen W. S., E. A. Croft, y J. R. McFarlane. Reducing stick-slip friction in hydraulic actuators. IEEE/ASME Conference on Advanced, Intelligent Mechatronics, Como-Italy, 1, 642-647, Julio (2001).        [ Links ]

Tressler J. M., T. Clement, H. Kazerooni, y M. Lim. Dynamic behavior of pneumatic systems for lower extremity extenders. IEEE International Conference on Robotics & Automation, 3248-3253, Mayo (2002).        [ Links ]

Van de Vrande B. L., D. H. Van Campen, y A. De Kraker. Some aspects of the análisis of stick-slip vibrations with an aplication to drill-strings. Proceedings of ASME Design Engineering Technical Conference (1997).        [ Links ]

Vargas E., G. Reynoso, L. Villarreal, y R. Mier. Diseño de un robot industrial para aplicaciones de limpieza en subestaciones Electricas.  En 3er. Congreso Mexicano de Robótica, Querétaro. Asociación Mexicana de Robótica, Septiembre (2001).        [ Links ]

Wang J., D. J. Wang, P. R. Moore, y J. Pu.  Modelling study, analysis and robust servo-control of pneumatic cylinder actuator systems. IEEE Proc. Control Theory Appl., 148 (1): 35-42, Enero (2001).        [ Links ]

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